Posts

IMPACTOS DAS ABORDAGENS TOP-DOWN E BOTTOM-UP NA VARIÂNCIA DO ERRO DE PREVISÃO COM AMORTECIMENTO EXPONENCIAL SIMPLES

Este artigo tem por objetivo mensurar o impacto das abordagens Top-Down e Bottom-up na variância do erro de previsão de vendas com o método do amortecimento exponencial simples, relacionando a variância do erro às características mais comuns de uma série de vendas: coeficiente de correlação, variância das vendas e participação nas vendas agregadas.

Para isso, foram demonstradas analiticamente as expressões referentes à variância do erro de previsão para essas duas abordagens, sob diferentes condições do tempo de reposta: unitário, constante e variável. Os resultados das variâncias dos erros de previsão para as abordagens Top-Down e Bottom-up foram comparados para duas situações distintas com relação à constante de amortecimento alfa: igual e diferente entre essas abordagens.

Foi identificado que, considerando-se ou não a constante de amortecimento (alfa) entre as abordagens, são verificados dois tipos de efeitos principais que explicam o comportamento da variância dos erros de previsão de vendas em função das características mais comuns da série de vendas: Efeito Portifólio (constantes iguais) e Efeito Ancoragem (constantes diferentes). Até o presente momento esses efeitos são considerados antagônicos pela literatura de previsão de vendas.

O restante do artigo está estruturado em mais seis seções. A seção 2 é dedicada à revisão de literatura. Na seção 3 são demonstradas analiticamente as variâncias dos erros de previsão de vendas nessas duas abordagens de previsão de vendas para diferentes condições do tempo de resposta. Já nas seções 4 e 5 são analisados e discutidos os resultados encontrados, ou seja, a adequação dessas abordagens às características mais comuns de uma série de vendas. Finalmente, na seção 6 são apresentadas as conclusões e na seção 7, as referências bibliográficas.

  1. REVISÃO DE LITERATURA

A primeira parte dessa seção é dedicada à revisão das abordagens Top-Down e Bottom-Up em previsões de vendas bem como sua adequação a diferentes características das séries de vendas dos produtos ou itens; a segunda, ao método do Amortecimento Exponencial Simples e às recentes pesquisas desenvolvidas nessa área e a terceira, à determinação da variância dos erros de previsão de vendas com esse método e a necessidade de se considerar o tempo de resposta.

2.1 Abordagens Top-Down e Bottom-up

Existe grande consenso entre os autores sobre a conceituação e a operacionalização das abordagens Top-Down (TD) e Bottom-up (BU) na previsão de vendas. Por exemplo, segundo Lapide (1998), na abordagem TD a previsão de vendas é feita para a soma de todos os itens, sendo então desagregada item-a-item, geralmente com base no percentual histórico do item no total. Nesse sentido, Schwarzkopf et al. (1988) apontam que na abordagem TD primeiramente é previsto o total agregado e posteriormente é feito o rateio em itens, famílias ou regiões com base em suas proporções históricas.

Já na abordagem BU, cada um dos itens é previsto separadamente e as previsões são somadas caso seja necessária uma previsão agregada para o grupo (Lapide, 1998). Em outras palavras, na abordagem BU, o previsor primeiro prepara as previsões para cada SKU (stock keeping unit) agregando-as em seguida no nível de interesse da análise (Jain, 1995).

Apesar do consenso relacionado à conceituação e operacionalização das abordagens TD e BU, existe grande conflito entre os autores sobre sua adequação ou utilização no sentido de minimizar os erros de previsão de vendas e sua variância. Essa discussão é particularmente importante quando se observa a pesquisa desenvolvida por Mentzer e Cox (1984) em 160 empresas norte-americanas para determinar os principais fatores envolvidos na precisão da previsão de vendas. Além de fatores como treinamento formal, tipo de indústria e volume de vendas, o nível no qual as previsões de vendas são elaboradas (nível corporativo e maior agregação dos dados ou nível de produtos e maior desagregação) também interfere significativamente na precisão da previsão de vendas. De acordo com os autores, uma maior precisão na previsão de vendas está associada a um maior nível de agregação dos dados.

Diversos autores têm tentado relacionar a adequação das abordagens TD e BU a diferentes características das séries de vendas dos itens como, por exemplo, ao coeficiente de correlação das vendas entre o item em estudo e todos os itens restantes agrupados (r), à fração ou proporção do item em estudo nas vendas totais agregadas (f) e à razão entre as variâncias do item em estudo e a dos demais itens agrupados (k2).

Ainda que existam controvérsias com relação à adequação das abordagens TD e BU, uma premissa implícita em alguns dos artigos pesquisados está relacionada ao Efeito Portifólio, conceito definido inicialmente por Zinn, Levy e Bowersox (1989) – e expandido posteriormente para o tempo de resposta por Tallon (1993) e Evers (1998) – para avaliar o impacto da centralização dos estoques na variância das vendas agregadas de diferentes mercados.

De acordo com o Efeito Portifólio, a centralização dos estoques, ou seja, a agregação das vendas, minimiza a variância total quando o coeficiente de correlação das vendas entre os mercados é -1 e a variância das vendas relativa entre os mercados é 1. Em linhas gerais, o racional para a redução da variância, segundo os autores, é a compensação das flutuações das vendas entre dois mercados: quando as vendas de um mercado crescem, as vendas do outro mercado diminuem da mesma quantidade.

Um exemplo nesse sentido é o artigo de Kahn (1998), segundo o qual, na abordagem TD, os picos e vales característicos de cada item são cancelados pela agregação, constituindo uma representação artificial da verdadeira natureza do negócio. A correlação negativa entre os itens reduziria a variância das vendas agregadas. Também corroborando as principais conclusões do Efeito Portifólio, Schwarzkopf et al. (1988) apontaram que estimativas baseadas em dados agregados são mais precisas que estimativas baseadas em previsões individuais, quando os itens possuem padrões de vendas independentes (correlação nula).

No entanto, Lapide (1998) afirma que, como regra geral, a abordagem TD só faz sentido se, e somente se, os padrões de vendas de cada item são os mesmos. Em outras palavras, se todos os itens estão crescendo, decrescendo ou permanecendo estáveis, o que caracteriza correlação positiva entre as vendas dos diferentes itens. O autor prossegue afirmando que, freqüentemente, uma família de produtos é composta por itens que potencialmente se canibalizam, como no caso de uma família com produtos novos e antigos. Para esses itens, o padrão de demanda é bastante diferente, já que alguns itens crescem às custas de outros (correlação negativa), o que tornaria preferível a abordagem BU.

Gordon, Morris e Dangerfield (1998) e Gelly (1999) discorrem sobre a adequação das abordagens TD e BU a outras características das séries de vendas dos itens além do coeficiente de correlação.

Mais especificamente, Gordon, Morris e Dangerfield (1998) estudaram mais de 15.000 séries de vendas, de modo agregado e desagregado, gerando previsões a partir do método do Amortecimento Exponencial Triplo. A abordagem BU resultou em previsões mais precisas em 75% das séries, sendo os maiores ganhos de precisão obtidos para itens com forte correlação positiva e quando o mesmo representava uma grande fração da série agregada de vendas. Em contraste, quando os dados são negativamente correlacionados, a abordagem TD mostrou-se mais precisa, independentemente da participação do item na série agregada de vendas.

Finalmente, no estudo de caso apresentado por Gelly (1999), a abordagem TD mostrou-se mais adequada para item que possuem um padrão de vendas previsível ao longo do tempo, ou seja, um baixo coeficiente de variação nas vendas que poderia ser resultado de uma grande participação do item na série agregada de vendas e de uma pequena razão entre a variância da demanda do item e a dos demais itens agrupados.

Na Tabela 1 são resumidos os impactos relativos às abordagens TD e BU identificados nessa seção.

2006_07.2_imagem 01

2.2 Amortecimento Exponencial Simples

Segundo Gijbels, Pope e Wand (1999), o Amortecimento Exponencial Simples (AES) é o modelo mais comumente utilizado na previsão de séries temporais. Suas principais vantagens são relacionadas ao fato de ser um modelo não-paramétrico – ou seja, não associado a uma determinada distribuição de probabilidade – baseado em uma fórmula algébrica simples, que permite rapidamente a atualização da estimativa de nível local da série temporal através das recorrências em sua equação. O AES e suas extensões foram desenvolvidos a partir do final dos anos 50 por Brown, Winters e Holt, dentre outros autores (Chatfield, Koehler e Snyder, 2001). Dentre suas principais premissas ou limitações, cabe destacar que no AES não são consideradas eventuais tendências de crescimento ou decrescimento, flutuações sazonais e variações cíclicas.

Nos últimos vinte anos, algumas pesquisas foram empreendidas para melhor compreender e descrever o AES e suas extensões do ponto de vista estatístico. Por exemplo, Chatfield, Koehler e Snyder (2001) comparam uma variedade de potenciais modelos de Amortecimento Exponencial derivados de médias móveis auto-regressivas, modelos estruturais e espaços dinâmicos não-lineares e concluem por que o AES e suas extensões são robustos mesmo diante de mudanças na variância das séries temporais. Blackburn, Orduna e Sola (1995) mostram que o AES pode introduzir autocorrelações espúrias em series cujo componente de tendência tenha sido removido e que essas autocorrelações dependem da idade média dos dados e do valor da constante de amortecimento. Finalmente, Gibels, Pope e Wand (1999) comparam o AES com a Regressão Kernel (não-paramétrica) permitindo um melhor entendimento da equivalência e da adequação entre as duas abordagens.

Sejam Ft1 a previsão de vendas pelo AES para o item 1 no tempo t, a a constante de amortecimento, Dt1 a venda real do item 1 no tempo t, Dt a venda real agregada de todos os itens no tempo t, e f a fração ou percentual das vendas do item 1 nas vendas totais (suposta constante ao longo do tempo), então as previsões pelo AES para o item 1 nas abordagens TD e BU são dadas a seguir.

 2006_07.2_imagem 02

2.3 Variância dos Erros de Previsão e Tempo de Resposta

Diversos modelos de previsão de vendas não utilizam todos os dados históricos disponíveis. As médias móveis, por exemplo, só utilizam os n últimos dados e o AES atribui pesos declinantes nos dados passados (Silver e Peterson, 1985). Nestas circunstâncias amostrais, não são exatamente claras as estimativas mais corretas para a média e para a variância das vendas. A melhor estimativa da média de vendas é simplesmente a previsão de vendas para o próximo período. Já para estimar a variância das vendas, deve ser utilizada a variância do erro de previsão.

Segundo Silver e Peterson (1985) e Greene (1997), a variância do erro de previsão e a variância das vendas não são iguais. De acordo com esses autores, o racional associado à maior adequação da variância do erro de previsão está relacionado à utilização da previsão para estimação das vendas. O estoque de segurança, por exemplo, deveria ser dimensionado para proteger contra variações nos erros de previsão de vendas. De modo geral, a variância do erro de previsão tende a ser maior que a variância das vendas (Silver, Pyke e Peterson, 2002). Isto se deve ao erro de amostragem adicional introduzido pelos modelos de previsão ao só utilizar parte dos dados históricos disponíveis.Outra situação que deve ser considerada, conforme apontado por Harrison (1967) e Johnston e Harrison (1986) é se a previsão de vendas é congelada durante o tempo de resposta do ressuprimento (TR). Nesse caso, deve ser estimada variância do erro de previsão durante esse tempo de resposta. De acordo com Silver e Peterson (1985), a relação exata entre a variância do erro de previsão e a variância do erro de previsão no tempo de resposta depende de complicadas relações entre o padrão da demanda em questão, o procedimento para revisão das previsões e o valor de n utilizado na média móvel, ou da constante de amortecimento (veja-se, por exemplo, Harrison, 1967). Segundo os autores, uma das razões para tal complexidade é que o procedimento de recorrência no amortecimento introduz um certo grau de dependência entre os erros de previsão de períodos separados pelo tempo de resposta.

Silver e Peterson (1985) apontam que a seguinte relação empírica pode ser utilizada para estimar a variância dos erros de previsão no tempo de resposta do ressuprimento:

2006_07.2_imagem 03

onde c é um coeficiente que deve ser estimado empiricamente e V(E) é a variância do erro de previsão. Sejam Et1 o erro de previsão de vendas do item 1 no tempo t (definido como a diferença entre as vendas reais e a previsão de vendas),  F1tTR a previsão de vendas pelo AES para o item 1 atualizada no início do tempo de resposta em t – TR e SFTR1t a previsão de vendas acumulada para o item 1 no tempo de resposta TR terminado em t, então o erro de previsão de vendas do item 1 no tempo de resposta nas abordagens BU e TD (ETR1) é dado por:

2006_07.2_imagem 04
  1. VARIÂNCIA DOS ERROS DE PREVISÃO

Nesta seção são calculadas as variâncias dos erros de previsão de vendas pelo AES nas abordagens TD e BU em três circunstâncias particulares: tempo de resposta unitário, tempo de resposta constante e tempo de resposta variável (pela determinação da soma aleatória das vendas reais do item 1 no tempo de resposta e do produto da previsão de vendas do item 1 pelo AES no tempo de resposta).

3.1 Tempo de Resposta Unitário

Sejam V(Dt1) = s12 a variância das vendas reais do item 1, V(Dt) = s2 a variância das vendas agregadas de todos os itens, V(Ft1) a variância da previsão de vendas do item 1 pelo AES, então as variâncias dos erros de previsão pelo AES para o item 1 nas abordagens TD e BU, V(Et1) são dadas a seguir.

 

2006_07.2_imagem 05

sendo nas equações (12) e (16) resolvida a soma dos infinitos termos da progressão geométrica das equações (11) e (15), respectivamente, e nas equações (13) e (17) somadas as variâncias das vendas reais e da previsão de vendas pelo AES para o item 1, provadas independentes, conforme é demonstrado a seguir.

Coeficiente de Correlação entre Demanda e Previsão

Sejam rDXF o coeficiente de correlação entre a previsão de vendas pelo AES para o item 1 e as vendas reais do item 1, o valor esperado das vendas reais do item 1 e   o valor esperado da previsão de vendas pelo AES para o item 1. Então, o coeficiente de correlação entre vendas e previsão nas abordagens TD e BU é dado por:

 2006_07.2_imagem 06

3.2 Tempo de Resposta Constante

 

2006_07.2_imagem 07

 

3.3 Tempo de Resposta Variável

Foram utilizadas diferentes modelagens para a determinação da variância das vendas reais do item 1 no tempo de resposta (V(DTRt1)) e da variância da previsão de vendas do item 1 congelada no tempo de resposta (V(FTRt1)).

No primeiro caso, foi calculada a variância da soma aleatória das vendas reais no tempo de resposta, através de função geradora de momento fatorial (Zwillinger e Kokosa, 2000), supondo-se as vendas reais e o tempo de resposta independentes e com distribuição discreta. Foi corroborado o resultado apresentado anteriormente por Mentzer e Krishnan (1988), obtido para vendas reais com distribuição contínua, tempo de resposta com distribuição discreta e independência entre vendas reais e tempo de resposta. Os autores utilizaram função geradora de momento para demonstrar a conhecida relação na literatura de logística

 2006_07.2_imagem 08

representa a variância do tempo de resposta. Em sua demonstração foram necessárias transformações geométricas e de Laplace. Apesar desse resultado ser válido para qualquer combinação de distribuições de probabilidade, a demonstração que segue objetiva ilustrar a menor complexidade envolvida na demonstração por função geradora de momento fatorial.

No segundo caso, foi calculada a variância do produto das variáveis aleatórias previsão de vendas do item 1 e tempo de resposta, resultado idêntico aos apresentados por Brown (1982) e Wanke e Saliby (2005). O resultado

 2006_07.2_imagem 09

equivale a calcular a variância da previsão de vendas congelada no tempo de resposta.

Variância das Vendas Reais no Tempo de Resposta

Sejam Pd(t) e Pn(t), respectivamente, as funções geradoras de momento fatorial das variáveis aleatórias discretas demanda (D) e tempo de resposta (TR). P(t) representa a função geradora de momento fatorial da soma aleatória da demanda no tempo de resposta. Em particular, a variância da demanda no tempo de resposta (equação 28) é obtida avaliando-se a seguinte expressão para t =1: P”(t) + P’(t) – (P’(t))2 onde P’(t) e P”(t) são as derivadas primeira e Segunda de P(t) (equação 27).

2006_07.2_imagem 10

 

Coeficiente de Correlação entre Demanda e Previsão no Tempo de Resposta

Sejam rDTRxFTR o coeficiente de correlação entre a previsão de vendas para o item 1 e as vendas reais do item 1 no tempo de resposta,   o valor esperado das vendas reais do item 1 no tempo de resposta e  o valor esperado da previsão de vendas no tempo de resposta para o item 1. Então, o coeficiente de correlação entre vendas e a previsão no tempo de resposta nas abordagens TD e BU é dado por:

 

2006_07.2_imagem 11
  1. ANÁLISE DOS RESULTADOS

Nesta seção são apresentados e analisados os resultados que igualam as variâncias das abordagens TD e BU quando as constantes de amortecimento são iguais (mesmo alfa) e diferentes (possibilidade de adotar diferentes valores de alfa em cada uma das abordagens).

4.1 Constantes de Amortecimento e Iguais

Considerando k2 a razão entre a variância das vendas do item 1 e a variância das vendas de todos os demais itens agregados, ou seja,  considerando também que s2 = s12 +s22 +2ρs1s2 e igualando as equações (14) e (18), no caso do tempo de resposta unitário, (23) e (24), no caso do tempo de resposta constante e (37) e (38), no caso do tempo de resposta variável, obtém-se o valor de k que torna indiferentes as variâncias dos erros de previsão nas abordagens TD e BU.

2006_07.2_imagem 12

De acordo com os resultados, para a = 0, a variância do erro de previsão é a mesma para as abordagens TD e BU e é igual a TRs12, ou seja, não depende de a, f e k e sTR2. Para a > 0 e a £ 1 o valor de k (kcrítico) que iguala a variâncias dos erros de previsão nas abordagens TD e BU depende de f e ρ.

4.2 Constantes de Amortecimento Diferentes

Também considerando

2006_07.2_imagem 13

supondo valores diferentes da constante de amortecimento para as abordagens TD (atd) e BU (abu), igualando as equações (14) e (18), no caso do tempo de resposta unitário, (23) e (24), no caso do tempo de resposta constante e (37) e (38), no caso do tempo de resposta variável, obtém-se o valor de atd, em função de abu, f, k e ρ que torna indiferentes as variâncias dos erros de previsão nessas duas abordagens.

2006_07.2_imagem 14

 

De acordo com os resultados apresentados em (39) e (40), a escolha da abordagem de previsão de vendas independe de TR e sTR2.

  1. DISCUSSÃO DOS RESULTADOS

Nessa seção serão discutidos com maior profundidade os resultados gerados nas seções anteriores, sobretudo as equações (39) e (40). Especificamente foram geradas diferentes combinações aleatórias de f e ρ para se avaliar a resposta em termos dos valores de k na equação (39) e diferentes combinações aleatórias de abu, f, k e ρ para se avaliar a resposta em termos dos valores de atd na equação (40). Isso é necessário na medida que a não linearidade dos termos dessas equações torna difícil avaliar diretamente seu impacto marginal nas variáveis em evidência.

5.1 Constantes de Amortecimento Iguais

No Gráfico 1, construído a partir da equação (39), são apresentadas as linhas de indiferença entre as abordagens TD e BU para diferentes valores de f, k e ρ. Em essência, se k > kcrítico deve ser escolhida a abordagem TD, caso contrário, a abordagem BU. Em outras palavras, dado um par (f, ρ), se o valor de k for superior ao respectivo valor de kcrítico (dado pela equação 39) associado a esse par, deve ser escolhida a abordagem TD no amortecimento exponencial simples em detrimento da abordagem BU.

2006_07.2_imagem 15

Percebe-se pelo Gráfico 1 que, menores os valores de ρ e f, maiores as chances (área do gráfico acima da linha de indiferença) da abordagens TD minimizar a variância do erro de previsão no AES. O que explica esse resultado é o Efeito Portifólio no item 1: correlação negativa com os demais itens agregados e pequena participação percentual nas vendas totais. No entanto, para maiores valores de f e ρ, a abordagem TD ainda assim pode apresentar menor variância no erro de previsão se o valor de k for suficientemente grande. Ou seja, mesmo para itens com elevada participação no total e correlação positiva com os demais itens agregados é possível que a abordagem TD seja a melhor escolha, desde que a razão entre a variância das vendas do item em estudo e a dos demais produtos seja suficientemente grande. Parece haver um efeito compensatório ou trade-off entre valores do par (f, ρ).

Apesar da relação entre f, ρ e k poder ter sido explorada bidimensionalmente no Gráfico 1, foram geradas diferentes combinações aleatórias de f e ρ, com base em Distribuições Uniformes de Probabilidade para se avaliar a resposta em termos dos valores de k na equação (39). Para a geração dos valores de f foram observados os limites do intervalo compreendido entre 0 e 1e para os valores de ρ, entre –1 e + 1.

Os resultados das 10.000 interações foram analisados através de Regressão Logística Binomial: se para cada par (f, ρ) gerado aleatoriamente o valor de k estivesse situado entre 0 e 1, foi arbitrado que a abordagem TD seria VIÁVEL, caso contrário, INVIÁVEL; ou seja, correspondendo à situação concreta que seria um evento raro encontrar um único item com variância das vendas superior à variância das vendas agregadas dos demais itens.

Na Tabela 2 são apresentados os resultados da Regressão Logística Binomial. Dos 10.000 pares de (f, ρ) gerados aleatoriamente, 74,64% implicaram valores de k entre 0 e 1 (VIÁVEIS) e o restante, valores maiores que 1. Os sinais positivos de f e ρ denotam que maior a participação do item no agregado de vendas e maior a correlação positiva, maior a probabilidade da abordagem TD NÃO minimizar a variância do erro de previsão, sendo preferível a abordagem BU.

2006_07.2_imagem 16

 

Esses resultados, de acordo com a Tabela 3, corroboram as visões de Kahn (1998) e Gordon, Morris e Dangerfield (1998) sobre a adequação das abordagens TD e BU.

2006_07.2_imagem 17

 

5.2 Constantes de Amortecimento Diferentes

Foram geradas diferentes combinações aleatórias de f, r, abu e k com base em Distribuições Uniformes de Probabilidade para se avaliar a resposta em termos dos valores de atd na equação (40). Para a geração dos valores de f foram observados os limites do intervalo compreendido entre 0 e 1; para os valores de r, entre –1 e +1; para os valores de abu, entre 0 e 1 e para os valores de k, entre 0 e 5.

Também foram realizadas 10.000 interações, sendo seus resultados analisados através de Regressão Logística Multinomial. Se para cada conjunto de valores de f, r, abu e k o valor de atd estivesse situado entre 0 e 1, considerou-se que a abordagem TD seria VIÁVEL, caso contrário, INVIÁVEL. Na Tabela 4 são apresentados os resultados dessa análise de regressão.

2006_07.2_imagem 18

 

Dos 10.000 conjuntos de valores de f, r, abu e k gerados aleatoriamente, apenas 30,1% implicaram valores de atd entre 0 e 1 (VIÁVEIS) e o restante, valores maiores que 1. Os sinais positivos de abu e k e os sinais negativos de f e r denotam que, maiores a constante de amortecimento na abordagem BU e a razão entre a variância do item e a variância dos demais itens agrupados e menores a participação do item nas vendas agregadas e o coeficiente de correlação da série do item com a série dos demais itens agregados, maior a probabilidade da abordagem TD não minimizar a variância do erro de previsão, sendo preferível adotar a abordagem BU.

Por outro lado, quanto maiores o coeficiente de correlação e a fração do item em estudo na demanda total, e menores a razão entre as variâncias e o valor de alfa na abordagem BU, maiores as chances da abordagem TD minimizar a variância do erro de previsão. Esse resultado poderia ser conceituado como o Efeito Ancoragem, de modo análogo ao Efeito Portifólio na seção anterior. No Efeito Ancoragem, o item em questão apresenta uma grande participação na família, uma pequena incerteza e padrão de demanda semelhante, fazendo com a que a incerteza dos demais itens seja diluída ao serem agregados os dados na abordagem TD. Mais uma vez, tanto o tempo de resposta quanto o desvio-padrão do tempo de resposta não afetam a determinação da melhor abordagem.

Esses resultados, de acordo com a Tabela 5, corroboram as visões de Lapide (1998) e Gelly (1999) sobre a determinação da abordagem de previsão de vendas mais adequada.

 2006_07.2_imagem 19

 

  1. CONCLUSÃO

Ainda que não haja discordância na literatura sobre o significado e a operacionalização de previsões de vendas Top-Down e Bottom-up, existe considerável discordância quanto à adequação dessas abordagens a diferentes características de um determinado item e sua respectiva série de vendas: coeficiente de correlação com os demais itens agregados, variância relativa e participação percentual nas vendas totais.

Neste artigo demonstrou-se analiticamente a adequação das abordagens Top-Down e Bottom-up em previsões de vendas tendo como base o método do Amortecimento Exponencial Simples, um dos mais difundidos nos meios acadêmicos e empresarial. Considerou-se como critério de adequação a minimização da variância do erro de previsão de vendas e foram considerados diferentes cenários para o tempo de resposta: unitário, constante e variável.

Os resultados apontam que a média e a variância do tempo de resposta não são relevantes para determinar a abordagem de previsão de vendas mais adequada. Além disso, a possibilidade de variar a constante de amortecimento alfa entre as duas abordagens de previsão desempenha um papel fundamental para a compreensão e interpretação dos resultados gerados.

Quando se considera uma mesma constante de amortecimento e são analisadas as linhas de indiferença entre essas abordagens de previsão, verifica-se o clássico Efeito Portifólio: a abordagem Top-Down torna-se mais adequada para itens com correlação negativa, pequena participação nas vendas agregadas e elevada incerteza. Por outro lado, ao se variar a constante de amortecimento entre as abordagens, verifica-se o Efeito Ancoragem, sendo a abordagem Top-Down mais adequada para itens com correlação positiva, grande participação nas vendas agregadas e baixa incerteza. No primeiro caso (Efeito Portifólio), a variância do item em estudo é compensada pela variância agregada dos demais itens e pela correlação negativa. No segundo caso (Efeito Ancoragem), o item em estudo, por ser dominante dentro da série agregada de vendas, contribui para a diluição da variância combinada dos demais itens, gerando também um padrão mais estável de vendas.

Em resumo, os resultados encontrados conciliam as aparentemente antagônicas visões da literatura sobre a adequação das abordagens Top-Down e Bottom-up, pelo menos para o método do Amortecimento Exponencial Simples, ao identificar a possibilidade de variar a constante de amortecimento entre essas duas abordagens como seu elemento de ligação e entendimento do que acontece com as séries agregadas de vendas.

Gerentes também podem se beneficiar dos resultados já que a flexibilidade freqüentemente buscada no processo de previsão de vendas é assegurada. Os resultados apresentados nesse artigo são úteis na determinação da melhor abordagem de previsão (Top-Down ou Bottom-up) com muito menos esforço computacional envolvido.

Finalmente, os resultados apresentados são particularmente relevantes para as empresas que buscam segmentar seu processo de previsão (cf. Tabela 6).

2006_07.2_imagem 20

 

Por exemplo, itens C tipicamente apresentam menores vendas e maiores coeficientes de variação da vendas. Como regra geral, se eles são negativamente correlacionados aos itens A – maiores vendas e menores coeficiente de variação das vendas – e diferentes constantes de amortecimento são empregadas, a abordagem Bottom-up pode ser a mais adequada. Se a mesma constante de amortecimento for usada, os itens C devem observar a abordagem Top-Down.

Por outro lado, os itens A devem ser previstos individualmente (abordagem Bottom-up) se eles são positivamente correlacionados com as vendas agregadas dos itens restantes e a mesma constante de amortecimento é utilizada. Quando diferentes constantes de amortecimento são empregadas, os itens A deveriam observar a abordagem Top-Down.

  1. BIBLIOGRAFIA

BLACKBURN, K.; ORDUNA, F.; SOLA, M. Exponential smoothing and spurious correlation: a note. Applied Economic Letters, n. 2, pp. 76-79, 1995.

BROWN, R.G. Advanced service parts inventory control. Vermont: Materials Management Systems Inc., 1982.

CHATFIELD, C.; KOEHLER, A.B.; SNYDER, R.D. A new look at models for exponential smoothing. The Statistician, v. 50, n. 2, pp. 147-159, 2001.

EVERS, P.T., BEIER, F.J. Operational aspects of inventory consolidation decision making. Journal of Business Logistics, v. 19, n.1 , pp.173-189, 1998.

LAPIDE, L. A simple view of top-down versus bottom-up forecasting. The Journal of Business Forecasting, Summer, pp. 28-29, 1998.

GELLY, P. Managing bottom-up and top-down approaches: ocean spray’s experiences. The Journal of Business Forecasting, Winter, pp. 3-6, 1999.

GIJBELS, I.; POPE, A.; WAND, M.P. Understanding exponential smoothing via kernel regression. Journal of the Royal Statistician Society, v. 61, n. 1, pp. 39-50, 1999.

GORDON, T.P.; MORRIS, J.S.; DANGERFIELD, B.J. Top-down or bottom-up: which is the best approach to forecasting? The Journal of Business Forecasting, Fall, pp.13-16, 1997.

GREENE, J.H. Production and Inventory Control Handbook. 3rd Edition. New York: McGrawHill, 1997.

HARRISON, P.J. Exponential smoothing and shot-term sales forecasting. Management Science, v. 13, n. 1, pp. 821-842, 1967.

JAIN, C. How to determine the approach to forecasting. The Journal of Business Forecasting, Summer, p. 2, 1995.

JOHNSTON, F.R.; HARRISON, P.J. The variance of lead-time demand. Journal of the Operational Research Society, v.31, n. 8, pp. 303-308, 1986.

KAHN, K.B. Revisiting top-down versus bottom-up forecasting. The Journal of Business Forecasting, Summer, pp. 14-19, 1998.

MENTZER, J.T.; COX, J.E. A model of the determinants of achieved forecast accuracy. Journal of Business Logistics, v. 5, n. 2, pp. 143-155, 1984.

MENTZER, J.T.; KRISHNAN, R. The effect of the assumption of normality on inventory control/customer Service. Journal of Business Logistics, v. 6, n. 1, p. 101-120, 1988.

SCHWARZKOPF, A.B.; TERSINE, R.J.; MORRIS, J.S. Top-down versus bottom-up forecasting strategies. International Journal of Production Research, v. 26, n. 11, pp. 1833-1843, 1988.

SILVER, E.A., PETERSON, R. Decision Systems for Inventory Management and Production Planning. 2 ed, New York: Wiley&Sons, 1985.

SILVER, E., PYKE, D.; PETERSON, R. Decision Systems for Inventory Management and Production Planning and Scheduling. New York: Wiley&Sons, 2002.

TALLON, W. The impact of inventory centralization on aggregate safety stock: the variable supply lead time case, Journal of Business Logistics, v. 14, n. 1, pp.185-196, 1993.

WANKE, P., SALIBY, E. Proposta para a gestão de estoques de novos produtos: solução do modelo (q,r) para a distribuição uniforme da demanda e do lead-time de suprimento. Revista Gestão & Produção, v. 12, n. 1, pp. 1-20, 2005.

ZINN, W.; LEVY, M.; BOWERSOX, D.J. Measuring the effect of inventory centralization/decentralization. Journal of Business Logistics, v. 10, n. 1, 1989.

ZWILLINGER, D., KOKOSA, S. Standard Probability and Statistics Tables and Formulae. New York: Chapman&Hall, 2000.

COMPARAÇÃO ENTRE AS ABORDAGENS TOP-DOWN E BOTTOM-UP PARA PREVISÃO DE VENDAS

A previsão de vendas desempenha papel de grande importância no planejamento e coordenação dos fluxos de informação e de produtos físicos em uma empresa, tendo impactos relevantes no gerenciamento de marketing, na programação e controle da produção, nas operações logísticas e nas decisões de planejamento da capacidade das instalações.

O imperativo por redução de custos e os avanços da tecnologia da informação fizeram com que as empresas buscassem um aprimoramento de seus métodos e integração dos processos de previsão de vendas, que, até então, era realizada por cada área da empresa separadamente, o que, quase sempre, resultava em perda de precisão e aumento dos níveis de estoque.

O aumento da complexidade nos sistemas logísticos, com a multiplicação dos pontos de vendas, aumento do número de locais de produção e armazenagem e redução do ciclo de vida e proliferação de produtos, resultou em um aumento da dificuldade de realizar previsões de vendas. As empresas de varejo, por exemplo, precisam realizar previsões para milhares de itens diferentes em centenas de pontos de vendas. Essas previsões apresentam, em geral, baixa acurácia, o que resulta em stockout de alguns produtos e níveis excessivos de estoque para outros. Existem duas abordagens para a realização da previsão de vendas nestes casos: Top-Down ou Bottom-Up.

A abordagem Top-Down consiste em realizar previsões de vendas para séries consolidadas, isto é, a previsão é realizada para vendas agregadas de vários produtos ou de várias regiões. Na abordagem Top-Down, também conhecida como abordagem analítica, a previsão de vendas é feita para grupos ou famílias de produtos e depois desagregada para cada item, segundo o percentual histórico de vendas. Também é possível fazer uma previsão agregada para uma região e, então, decompor em previsões para as diversas localidades que compõe esta região, segundo sua representatividade histórica. A Figura 1 mostra um exemplo bastante comum da abordagem Top-Down nas indústrias de bens de consumo não-duráveis: a empresa realiza a previsão de vendas de um determinado produto com base nos dados históricos das vendas totais e, posteriormente, decide o volume que será enviado para cada centro de distribuição, segundo a representatividade (em %) destes.

 2004_11_imagem 01
Figura 1 – Exemplo de abordagem Top-Down

Na abordagem Bottom-Up, a previsão é realizada diretamente para cada item ou para cada localidade e, posteriormente, agregada por família/grupo de produtos ou por regiões. A Figura 2 apresenta um exemplo da abordagem Bottom-Up. Neste caso, os centros de distribuição têm autonomia para realizar a previsão de vendas de um determinado produto, que, então, é enviada para a fábrica e consolidada para gerar as ordens de produção e remessa.

 2004_11_imagem 02
Figura 2 – Exemplo de abordagem Bottom-Up

A escolha de uma ou outra abordagem para a realização da previsão de vendas tem impactos operacionais e estratégicos para a empresa. Em geral, as empresas optam pela estratégia que minimiza o erro de previsão, porém outros fatores também são levados em consideração, tais como os custos de implementação e operação do método. A decisão, pois, de qual abordagem escolher é de grande importância para um grande número de empresas, com destaque para as grandes empresas de varejo, distribuição e produção de bens de consumo não-duráveis. Serão apresentadas, a seguir, algumas comparações entre as duas abordagens, no que se refere aos custos de implementação e operação e a acurácia.
CUSTO DE IMPLEMENTAÇÃO E OPERAÇÃO

Com relação aos custos, o principal argumento dos defensores da abordagem Top-Down é que armazenar informações e realizar previsões de vendas para milhares de itens é muito caro. Desta forma, a abordagem Bottom-Up seria muito mais dispendiosa em termos de: (a) armazenamento de dados, (b) tempo requerido para o cálculo e (c) utilização de recursos computacionais. No entanto, alguns estudos (Schwarzkopf, Tersine e Morris, 1988) evidenciam que não existe diferença significativa, em termos de custo, entre as duas abordagens.

Para realizar a comparação de custos entre as abordagens Top-Down e Bottom-Up, utilizou-se o método quantitativo do amortecimento exponencial simples para realizar as previsões, pois este é um método bastante utilizado para o cálculo da previsão de valores futuros em séries relativamente estáveis, isto é, séries sem sazonalidade e sem tendência. Neste método, a previsão de vendas é calculada com base em três parâmetros: vendas reais do período anterior (Rt-1), previsão de vendas do período anterior (Pt-1) e a constante de amortecimento (a).

 2004_11_imagem 03
Equação 1 – Fórmula de cálculo do
Amortecimento Exponencial Simples

(a) Armazenamento de Dados

O custo de armazenamento de dados pode ser calculado pelo custo do espaço de armazenagem e pelo esforço necessário para manter os dados atualizados. Na maioria dos sistemas de informação, o esforço de atualização das informações é mais importante do que o custo do espaço de armazenagem, pois envolve sistemas e pessoas.

O custo do espaço de armazenagem é calculado com base na quantidade de informações que são armazenadas. Na abordagem Top-Down, para a realização da previsão de vendas, pelo método do amortecimento exponencial simples, de cada item de uma determinada família de produtos são necessárias as informações sobre as vendas totais desta família de produtos no último período, a previsão de vendas totais do último período e a representatividade de cada item em relação às vendas totais da família. Para obter esta representatividade histórica, no entanto, são necessárias todas as informações sobre as vendas de cada item nos períodos anteriores. Na abordagem Bottom-Up, para realizar a mesma previsão de vendas, são necessárias apenas as informações de vendas do último período. Desta forma, em geral, a abordagem Bottom-Up requer menos dados armazenados para a realização da previsão.

Além da quantidade de informação que é armazenada para que se possa realizar a previsão de vendas, outra dimensão relevante é a freqüência que estes dados são utilizados. Na abordagem Bottom-Up, em todos os períodos é necessário resgatar as informações de vendas e previsão para o período anterior de cada item, isto é, as informações são atualizadas em cada período para que se obtenha uma nova previsão. Já na abordagem Top-Down, em geral, não existe necessidade de se rever o percentual de participação de cada item a cada período, uma vez que estes percentuais costumam se manter relativamente estáveis ao longo do tempo. A revisão destes percentuais pode, por exemplo, ser realizada anualmente. Assim, as únicas informações a serem atualizadas periodicamente são as vendas totais e a previsão de vendas da família de produtos. Desta forma, em geral, a abordagem Top-Down requer menos esforço para atualização dos parâmetros. No entanto, quando as séries de representatividade (em %) de cada produto forem instáveis, am
as as abordagens demandam essencialmente o mesmo esforço de manutenção.

A Tabela 1 mostra as diferenças entre as abordagens, em relação ao custo de armazenamento de dados, indicando aquela de menor custo. Estas diferenças são influenciadas pelas características das séries de vendas.

 2004_11_imagem 04
Tabela 1 – Comparação do custo de armazenamento de dados (menor custo)

(b) Tempo Requerido para o Cálculo

Outra medida de custo para um sistema de previsão de vendas é o tempo requerido para o cálculo, que pode ser avaliado pelo número de operações matemáticas realizadas para chegar à previsão de vendas de cada item.

Na abordagem Top-Down, os cálculos para a obtenção da previsão de vendas de cada item seriam:

(1) Calcular a previsão de vendas da família de produtos:
 2004_11_imagem 05
Neste cálculo teríamos duas multiplicações e uma adição, totalizando três operações matemáticas.(2) Multiplicar a previsão de vendas da família de produtos pela representatividade histórica (em %) de cada item:
 2004_11_imagem 06
Neste cálculo teríamos uma multiplicação para cada item que compõe a família de produtos.

Desta forma, na abordagem Top-Down, temos 3+N operações matemáticas, onde N é o número de itens da família de produtos.

Na abordagem Bottom-Up, os cálculos para se obter a previsão de vendas para cada item seriam:

(1) Calcular a previsão de vendas de cada item:
 2004_11_imagem 07
Neste cálculo teríamos duas multiplicações e uma adição, totalizando três operações matemáticas para cada item.

Desta forma, na abordagem Bottom-Up, temos 3N operações matemáticas, onde N é o número de itens da família de produtos.

Assim, quando não existe necessidade de atualização constante da representatividade de cada item, a abordagem Top-Down apresenta uma certa vantagem. No entanto, se fosse necessário atualizar periodicamente a representatividade histórica de cada produto, o número de operações matemáticas a serem realizadas para a obtenção da previsão de vendas seria praticamente o mesmo nas duas abordagens. Observe na Tabela 2 a comparação entre as abordagens.

 2004_11_imagem 08
Tabela 2 – Comparação do Tempo Requerido
para Cálculo (menor tempo)

(c) Utilização de Recursos Computacionais

A utilização de recursos computacionais pode ser medida pelos acessos ao disco rígido do computador. No entanto, como é difícil avaliar o valor de um acesso ao disco rígido, segue-se a regra geral de que a diferença entre as duas abordagens está no fato de que, como discutido anteriormente, na abordagem Bottom-Up é necessário acessar um número maior de informações e, por isso, esta abordagem requer uma maior utilização de recursos computacionais.

Apesar das aparentes diferenças entre as abordagens Top-Down e Bottom-Up, com relação aos custos de implementação e operação, Schwarzkopf, Tersine e Morris (1988) mostram através de simulação que, na prática, estas diferenças não são significativas. Eles simularam as previsões para um conjunto de 10.000 itens diferentes, incluindo variações sazonais e tendência nas séries de vendas, e encontraram resultados idênticos de custos de armazenamento de dados e utilização de sistemas computacionais nas duas abordagens. A única diferença constatada na simulação foi do tempo necessário para o cálculo, que na abordagem Top-Down foi 4 segundos mais rápido, o que significa dizer que, se a hora desta operação custasse R$1.000,00, a diferença seria de R$ 1,11.

O aumento da complexidade das previsões e a estrutura organizacional da empresa podem influenciar nos custos de cada abordagem. No entanto, como conclusão geral, pode-se dizer que não existem diferenças significativas de custos entre as abordagens Top-Down e Bottom-Up para previsões de vendas de itens individuais. A escolha da metodologia deve ser influenciada por outros fatores, como a acurácia da previsão.

ACURÁCIA DA PREVISÃO DE VENDAS

A mensuração da acurácia é bastante complexa e deve levar em consideração, além da (a) precisão da previsão de vendas, (b) os vieses e (c) a robustez da abordagem. Para examinar a performance das abordagens Top-Down e Bottom-Up nestes fatores, não será escolhido um método específico para a realização da previsão de vendas. A escolha e aplicação de um método de previsão podem tornar a análise muito complexa e desviar a atenção do objetivo de comparar a acurácia das abordagens.

(a) Precisão

A precisão da previsão de vendas é medida pela variabilidade dos valores estimados em relação aos valores observados. Em outras palavras, a precisão de uma abordagem de previsão de vendas é medida pelo tamanho do erro, isto é, por quão diferente são os valores observados dos valores previstos. O erro é definido como a média da diferença quadrada entre as estimativas e os valores reais, sendo calculado pela variância (Var) destes valores. Os defensores da abordagem Top-Down, baseados no princípio estatístico que sugere que uma série formada pela soma de vários itens é menos variável do que as séries dos itens individuais, afirmam que esta seria inerentemente mais precisa do que a abordagem Bottom-Up.

O problema com esta análise está no fato de que ela não considera uma correlação entre as séries de vendas dos dois produtos. Na maioria dos casos reais, no entanto, existe correlação positiva ou negativa entre as vendas dos produtos de uma família. Por exemplo, o aumento das vendas de um determinado produto pode alavancar as vendas de toda a família de produtos do qual faz parte. Neste caso, existe correlação positiva entre as séries de vendas. Por outro lado, o aumento das vendas de um determinado produto pode diminuir as vendas de um produto correlato da mesma família. O lançamento de uma nova embalagem (novo SKU – stock keeping unit) ou o aumento na propaganda de um item podem fazer com que consumidores passem a preferir este novo item ou o produto em maior evidência em detrimento de outro produto consumido anteriormente da mesma família e, por conseqüência, da mesma empresa. Este processo recebe o nome de “canibalização” (ou efeito portfólio) e indica correlação negativa entre as séries de vendas.

Para efeito prático, isto significa dizer que a série de vendas consolidadas de uma família de produtos com forte correlação positiva entre seus itens terá uma variância maior do que a soma das variâncias das séries de vendas de cada item. Deste modo, o erro da previsão calculada pela abordagem Top-Down será maior do que o erro da abordagem Bottom-Up. No caso de uma forte correlação negativa, o efeito inverso será observado e a abordagem Top-Down apresentará vantagens sobre a abordagem Bottom-Up. A Tabela 3 mostra a variância calculada para séries de vendas de produtos com correlação positiva e com correlação negativa.

 2004_11_imagem 09
Tabela 3 – Efeito Portfólio

O efeito das correlações entre as séries de vendas de produtos de uma empresa deve ser cuidadosamente estudado, pois, como visto no exemplo acima, têm grande influência na decisão de qual abordagem adotar para realizar a previsão de vendas. Outros estudos (Gordon, Morris e Dangerfield, 1997) compararam as duas abordagens, utilizando diferentes métodos quantitativos e qualitativos e variando as características das séries de vendas, e encontraram resultados semelhantes, ou seja, independente do método utilizado para calcular a previsão de venda, a abordagem Bottom-Up apresenta melhores resultados para séries positivamente correlacionadas e a abordagem Top-Down para séries negativamente correlacionadas.

(b) Vieses

Avaliando apenas a precisão da abordagem (a), desconsideram-se outros importantes fatores de acurácia da previsão de vendas, tais como o impacto de vieses (b) nas previsões de vendas dos produtos. Viés é um desvio constante (positivo ou negativo) da previsão de vendas em relação às vendas reais, causado pela inexatidão do método de previsão de vendas. A existência de vieses é bastante comum em previsões de vendas, uma vez que os métodos não são exatos e que estas sofrem, com freqüência, influência de julgamentos otimistas ou pessimistas.

Na abordagem Bottom-Up, como a previsão é realizada para cada produto, o viés em uma das séries não interfere na acurácia, pois o processo de modelagem individual de cada série elimina o viés. Já na abordagem Top-Down, o viés terá um impacto negativo na acurácia, pois este será distribuído incorretamente entre as previsões de cada item.

Desta forma, além da componente de erro relativo a precisão, existe uma outra componente de erro que se refere ao modelo de previsão de vendas. Na prática, é necessário avaliar se esta componente desempenha papel significativo que possa alterar a decisão de qual abordagem utilizar pelo critério de precisão.

(c) Robustez

A robustez de uma abordagem pode ser avaliada pela influência de dados problemáticos ou inadequados nas séries de vendas. Estatísticos acreditam que modelos baseados em dados agregados (Top-Down) são mais robustos, pois modelos baseados em dados não-agregados (Bottom-Up) tendem a ser mais sensíveis a outliers na amostra.

Resumindo, existem três dimensões de erro que devem ser incluídas no processo de escolha da abordagem a ser utilizada para realizar a previsão de vendas: precisão, vieses e sensibilidade a dados errados (influência de outliers). As abordagens Top-Down e Bottom-Up se comportam de maneira diferente em cada uma destas dimensões, o que torna bastante complexo o processo decisório de escolha da abordagem a ser utilizada.

Os resultados sugerem que a abordagem Top-Down reduz os efeitos do erro aleatório e da influência de outliers nas séries de vendas, sendo, pois, mais robusta que a abordagem Bottom-Up. No entanto, esta última se comporta melhor frente ao efeito de vieses. Além disso, a abordagem Top-Down introduz uma complexa interação entre os efeitos provocados por vieses e outliers nas vendas.

Em relação a acurácia de cada abordagem, podemos concluir que existem diferenças significativas. A decisão de qual abordagem utilizar, no entanto, depende muito do comportamento das séries de vendas. Correlação entre produtos, existência de vieses e de outliers e representatividade de cada produto irão determinar qual abordagem deverá ser utilizada. Em geral, estudos empíricos indicam que a variável com maior impacto sobre o erro e, portanto, a de maior importância para a análise é a precisão. A existência de correlação positiva ou negativa (efeito portfólio) entre os produtos, conforme demonstrado na Tabela 3, tem forte impacto na decisão de qual abordagem deverá ser utilizada.

Correlações positivas são encontradas, por exemplo, em produtos que seguem as mesmas variações sazonais. Correlações negativas são encontradas, muitas vezes, em variações (tamanho, embalagem ou modelo) de um mesmo produto. Por exemplo, a venda de ventiladores e condicionadores de ar seguem o mesmo padrão sazonal, influenciado por fatores climáticos, e apresentam forte correlação positiva. A previsão de vendas deve, pois, ser realizada separadamente (Bottom-Up). Já entre os ventiladores, existem diversos modelos diferentes e, apesar das vendas acompanharem os efeitos sazonais, as vendas de cada modelo são influenciadas por outros fatores, havendo “canibalização” de vendas entre os modelos. Neste caso, será mais eficiente realizar uma previsão agregada para toda a família de ventiladores e, depois, desagregar esta previsão pela representatividade histórica de cada modelo (Top-Down).

CONCLUSÃO

Conforme analisado, existem aspectos positivos e negativos em cada uma das abordagens. A comparação entre as abordagens Top-Down e Bottom-Up mostra que existe espaço para utilização de ambas. Ao mesmo tempo em que uma previsão Top-Down pode ser mais precisa, previsões individuais para cada item podem ajudar a identificar padrões de demanda. Elas não são, pois, excludentes e podem ser utilizadas de forma combinada, em um modelo híbrido.

Se a empresa utiliza a previsão de vendas para desenvolver planos estratégicos e decidir orçamentos, a abordagem Top-Down pode ser preferida. Por outro lado, se a previsão de vendas é utilizada para organizar os calendários de produção e distribuição, a abordagem Bottom-Up provavelmente será escolhida. Desta forma, a escolha da abordagem depende, além do comportamento dos dados, dos objetivos de utilização da previsão pela empresa.

BIBLIOGRAFIA

Darrough, Masako N. e Russell, Thomas “A Positive Model of Earnings Forecast: Top-Down versus Bottom-Up” The Journal of Business, 75 (1), Janeiro/2002, pp.127-152.

Gordon, Teresa P., Morris John S. e Dangerfield, Byron J. “Top-Down or Bottom-Up: Which is the Best Approach to Forecasting?” The Journal of Business Forecasting Methods & Systems, 16 (3), Fall 1997, pp.13-16.

Jain, Chamam L. “How to Determine the Approach to Forecasting” The Journal of Business Forecasting Methods & Systems, 14 (2), Summer 1995, página 2.

Kahn, Kenneth B. “Revisiting Top-Down versus Bottom-Up Forecasting” The Journal of Business Forecasting Methods & Systems, 17 (2), Summer 1998, pp.14-19.

Lapide, Larry “New Developments in Business Forecasting” The Journal of Business Forecasting Methods & Systems, 17 (2), Summer 1998, pp.28-29.

Portougal, Victor “Demand Forecast for a Catalog Retailing Company” Production and Inventory Management Journal, 43 (1/2), pp.29-34.

Schwarzkopf, A.B., Tersine, R.J. e Morris, J.S. “Top-Down versus Bottom-Up Forecasting Strategies” International Journal of Production Research, 26 (11), 1988, pp.1833-1843.

West, Douglas C. “Number of Sales Forecast Methods and Marketing Management” Journal of Forecasting, 13 (4), Agosto/1994, pp.395-407.